О применении фракталов

  Прежде всего фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.

  Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во первых это фрактальное сжатие изображений, и во вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой математике.

  Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
  Компанией Iterated разработан новый формат изображений "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью последующего высококачественного масштабирования, причем объем графических файлов составляет 15-20% от объема несжатых изображений.

  Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.

  Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры. В геометрической теории функций А.А. Шалагинов использовал естественную параметризацию кривой Коха, как пример свободно-квазисимметрического, но не билипшицева вложения прямой в полоскость, чем разрешил проблему о различии между этими классами функций.
  К сожалению, я только поверхностно знаком с применениями фракталов в механике и физике. Но можно сказать, что там они используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличее на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях. Более детально об этом рассказывается в статье "Фракталы в механике" 13:
  «Так, например, появилась теория фрактальных трещин 14, модель трения для фрактальных поверхностей 15 фрактальная механика древесно-полимерных композитов 16 и пр. Применение фракталов к материаловедению в какой-то степени освещено в монографии 17.
  Разработана математическая теория перколяционных кластеров 18. На основе этой теории создаются новые критерии прочности материалов, в том числе и композиционных 19. Пожалуй, самое широкое распространение фрактальный подход нашёл в теории динамических систем. При детерминированном подходе, как правило, входные данные (в числе которых могут входить и начальные условия) полностью определяют решение. При этом для нелинейных систем существуют такие параметры, при которых возможны "пороговые" явления решения: ветвление, скачки, катастрофы и т.п. До достижения критических параметров траектории динамической системы могут притягиваться некоторым аттрактором (предельной точкой траектории). Но по достижении критического параметра картина резко меняется, и динамическая система начинает вести себя по-другому. Её траектории могут стремиться к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь ("странные аттракторы"). Но, если параметры системы будут увеличиваться, эта последовательность начинает вести себя беспорядочно ("срывается к хаосу"). Она, хоть и определена динамическим законом и детерминированным начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема. Так, например, ведут себя траектории движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой (задача трёх тел в небесной механике). Так ведёт себя и странный аттрактор, открытый американским метеорологом Э.Лоренцем 20. Им была исследована система трёх дифференциальных уравнений, описывающих конвекцию газа или жидкости, движущихся внутри тора и подогреваемых снизу этого тора.»

  При фрактальном подходе хаос перестает быть синимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

---

Литература:

1. Mandelbrot B.B. Fractals, Form, Chance, and Dimension, San Francisco: Freeman. 1977.
2. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, San Francisco: Freeman. 1982.
3. Falconer K. Fractal geometry: mathematical foundations and applications, Chichester etc.: John Wiley & Sons xxii, (1990), 288 p.
4. J. Hutchinson Fractals and Self Similarity, Indiana Univ. Math. Journal, Vol.30, No.5. (1981), pp.713-747.
5. Barnsley M.F. Fractals everywhere. Boston: Acad. Press, 1988.
6. Barnsley M.F. Fractal Image Compression Notices. 1996. V.43. No.6.
   
7. Данилов Ю.А. Красота фракталов, Московский Международный Синергетический Форум.
8. Забарянский С.Ф. Фрактальное сжатие изображений. - Компьютеры + программы. 1997. No.6(39).
9. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества,"Фракталы в физике" -М.:Мир, (1988),672 с.
10. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. (1986 - оригинал) 176 с.
11. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 262 с.
12. Шалагинов А.А. Об отображениях самоподобных кривых, Сиб.мат.ж., 34, No.6, 1993, c. 210-215.
13. Победря Б.Е.(HomePage) О фракталах в механике, url: http://composite.msu.ru/win/s_work/1/fr.htm
14. Бородич Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе, Докл. АН. 1992. Т.325. No.3. С.1138-1141.
15. Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели), Трение и износ. 1993. Т. 14. No.3. С. 452-459.
16. Кулак М.И. Структурные аспекты фрактальной механики древесно-полимерных композитов, Изв. АН БССР. Сер. физ.-техн. наук. 1991. No.2. С.18-22.
17. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении., М.: Наука, 1994. 384 с.
18. Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения, Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1986. Т.24. С.53-110.
19. Наймарк О.Б., Давыдова М.М. Топологический (фрактальный анализ кинетики накопления дефектов при оценке прочности углеродных композитов, Механика композитных материалов. 1994. Т.ЗО. N 1. С. 19-30.
20. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение В "Странные аттракторы", (перевод с англ. под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.И.). - М.: Мир, 1981. С.88-116.